Econometria de séries de tempo — estudando a partir de aplicacoes em ambientes controlados (parte 2)

Esta entrada no blog é uma continuacao da parte 1, postada aqui poucos dias atrás. Se voce está chegando agora e perdeu a primeira parte, provavelmente nao vai conseguir acompanhar a linha que foi desenvolvida até aqui. Recomendo a leitura anterior neste link.

Nesta postagem, continuo de onde parei na discussao anterior, onde tento encontrar um modelo econométrico que guarda as caracteristicas que inventei para dois países criados em uma simulacao de computador. Para relembrar, tratávamos de Atlantida e Conchinchina, dois países que dividiam uma enorme fronteira geográfica e comercial, que determinava o desempenho da economia da Conchinchina mas nao necessariamente determinava o desempenho economico de Atlantida, um país muito mais globalizado e aberto ao comércio internacional.

Figura ilustrativa da relacao entre os dois países fictícios, imagem já postada no post anterior.

Na primeira parte, seguimos o protocolo padrao do livro-texto de econometria, e obtivemos um modelo a primeira vista bem especificado da relacao que parecia mais óbvia entre os dois países. Regredimos o PIB da Conchinchina contra o PIB de Atlantida em primeira diferenca e encontramos um coeficiente angular significante que explicava parte nao-desprezivel da variacao do PIB da Conchinchina.

Relembrando que definimos y como o PIB da Conchinchina e x como o PIB de Atlantida.

Entretanto, notamos que essa especificacao gerava desvios crescentes entre as duas economias no longo prazo, caracteristica que vai de encontro com a estrutura que estabelecemos a priori para as duas economias. Conchinchina deve crescer junto com Atlantida, nao desviar-se dela eternamente. Para capturar este relacionamento de longo prazo, portanto, entendemos que mesmo um modelo econometricamente bem especificado, com resíduos coerentes, nao é suficiente para garantir tal condicao.

Nesta parte dessa série de posts, portanto, gostaria de introduzir um modelo que é bastante tradicional no framework econométrico de equacao-única, isto é, para modelos onde a variável em questao possui relacao exclusivamente exógena com as demais variáveis explicativas envolvidas.

Apesar de pouco mencionado na grande maioria dos livros-texto de econometria popularizados pelos cursos de graduacao e pós em economia, os modelos chamados ARDL (AutoRegressive Distributed Lag) ganharam popularidade nos anos 90, sobretudo após a vasta literatura de Pesaran e Shin. A principal vantagem destes modelos é exatamente permitir explorar as relacoes de longo prazo entre as variáveis modeladas, em um contexto onde as suas tendencias geram ao menos uma combinacao linear cujo resíduo é estacionário (sem tendencia). Em outras palavras, quando ao menos uma variável do lado direito da equacao cointegra com a variável dependente do lado esquerdo.

A especificacao geral de um modelo ARDL(n,p) pode ser denotada na seguinte forma funcional matemática:.

Nesta formulacao geral, o modelo comporta um intercepto (α0), um coeficiente de tendencia linear (α1, que multiplica a tendencia t), e uma sequencia finita de coeficientes para n observacoes passadas da variável dependente (y) além dos possíveis regressoes (x) que podem ser contemporaneos ou com p-1 defasagens

Modelos ARDL tendem a ser uma referencia prática para análises econométricas de equacao única onde é do interesse do econometrista avaliar 1) a relacao dinamica de curto e longo prazo das séries; 2) associar elasticidades de curto e longo prazo para variáveis explicativas; 3) usar das defasagens como um controle para “tratar” o possível viés de variável omitida na estimacao dos coeficientes (apesar de haver formas mais “educadas” para isso na literatura); e 4) permitir o analista de misturar em uma mesma regressao de equacao única variáveis com e sem tendencia linear (variáveis I(1) e I(0)). Sua principal vantagem também é a simplicidade de permitir modelos estimáveis em apenas um único estágio, algo que ficará mais claro quando falarmos do próximo modelo no texto seguinte.

Como sei que ficar apenas na notacao matemática e na citacao de literatura academica deixa as coisas ainda muito abstratas, vamos voltar para o exemplo prático que criamos. Vamos especificar um ARDL(1,1) para a relacao entre Conchinchina e Atlantida:

Lembrando que aqui temos y como o PIB da Conchinchina sendo explicado pelos x’s que sao o PIB de Atlantida. Dessa vez, usamos uma defasagem de y também no lado direito da equacao. Note que as variáveis estao em nível, diferentemente de como havíamos modelado anteriormente.

Com esta especificacao e os mesmos dados, obtemos os seguintes resultados:

O modelo se adequa bem aos dados quando usamos o modelo em uma estimativa condicionada as variaveis observadas. O resíduo, apesar de aqui estar denotados em uma unidade diferente do primeiro modelo, segue o mesmo principio de estacionariedade, autocorrelacao e homocedasticidade.

Nestas figuras, notamos como o comportamento do resíduo garante que as estatisticas teste das variáveis sao todas significantes (p-valor < 5%), e críveis, uma vez que o modelo nao apresenta evidencia de autocorrelacao residual nem heterocedasticidade. O único impasse, neste caso, é o fato de estarmos lidando com variáveis em nível, o que significa que a tendencia entre elas pode ser a única razao por trás das estatisticas teste resultarem como significantes. Idealmente, um modelo econométrico onde se estima variáveis em nível com tendencia precisa ser guiado por explicacoes de teoria economica para suplementar tal dificuldade. Engle & Granger, nos anos 80, entretanto, demonstram que na presenca de cointegracao os coeficientes tendem a ser consistentes (e o viés desaparece na medida em que aumentamos a amostra).

Em posse de estimativas consistentes para as elasticidades (α0, φ1, β0 e β1) e do nosso modelo, podemos deduzir a sua dinamica de curto e longo prazo para inovacoes de x em y no tempo t:

Notamos o decaimento para uma inovacao de x=1 em y, que atinge 0.87 de variacao no pico, com decaimento gradual para 0 em 10 períodos. O decaimento só é possível dado o coeficiente 𝜑1 menor do que zero, o que confere a convergencia dos choques ao modelo.

Já a dinamica de longo prazo pode ser deduzida através de um modelo derivado com pouca álgebra. Comecemos da especificacao original:

Os símbolos I(1) indicam que ambas variáveis, y e x, possuem uma tendencia linear, ou seja, de ordem um.

Por se tratar de variáveis I(1) somente, podemos aproximar a expectativa futura de E[Xt]=E[Xt-1]=E[X] para y e x, da seguinte forma:

Teríamos problemas para fazer esta aproximacao do modelo caso as variáveis fossem I(2) ou mais. Uma vez que, mesmo no limite, inovacoes em x e y teriam caráter de uma ordem acima das inovacoes anteriores, fato que nao ocorre em séries I(1).

Assim, podemos resolver para E[y] e desaparecer com o resíduo E[v], uma vez que este é igual a zero. Teremos:

Aqui, encontramos uma forma funcional de longo prazo para y usando x, estimada pelo modelo ARDL(1,1).

A relacao (β0+β1)/(1-φ1 ) dá, portanto, a dinamica de longo prazo das inovacoes de x em y. Usando os parametros obtidos na estimacao, ficamos com:

Assim, se esperarmos uma mudanca de 1 unidade em x, teremos um incremento esperado de 1.16 em y no longo prazo.

Assim, conseguimos descrever, de forma compreensível, as relacoes de curto e longo prazo deduzidas a partir de um modelo ARDL. Na próxima e última parte desta série de textos, apresentarei um modelo final, que incorpora as vantagens do modelo ARDL e dá uma forma funcional de equacao única para dinamicas de curto e longo prazo explícitas para descrever corretamente o relacionamento entre os dois países em questao. Por hoje é isso.